Bolesław Gleichgewicht - Algebra - rozdział 15.pdf

SPIS TREŚCI:

PRZEDMOWA
WSTĘP

ROZDZIAŁ I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
1. Symbolika logiczna i mnogościowa
2. Relacje. Funkcje. Diagramy
3. Indukcja matematyczna. Znaki sumy i iloczynu

ROZDZIAŁ II. GRUPY
1. Działania
2. Działania przemienne, działania łączne. Element neutralny. Prawo skracania
3. Definicja i najprostsze własności grupy
4. Grupy permutacji
5. Podgrupy

ROZDZIAŁ III. PIERŚCIENIE I CIAŁA
1. Definicja i najprostsze własności pierścienia
2. Definicja i najprostsze własności ciała
3. Podpierścienie i podciała

ROZDZIAŁ IV. IZOMORFIZMY I HOMOMORFIZMY
1. Izomorfizmy zbiorów z działaniami, grup i pierścieni
2. Homomorfizmy zbiorów z działaniami, grup i pierścieni
3. Zanurzenia izomorficzne

ROZDZIAŁ V. CIAŁO LICZB ZESPOLONYCH
1. Konstrukcja ciała liczb zespolonych
2. Liczby sprzężone. Moduł liczby zespolonej. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
4. Zasadnicze twierdzenie algebry liczb zespolonych

ROZDZIAŁ VI. PRZESTRZENIE LINIOWE
1. Definicja i najprostsze własności przestrzeni liniowej
2. Podprzestrzenie
3. Liniowa zależność i niezależność wektorów
4. Baza i wymiar przestrzeni liniowej
5. Izomorfizmy przestrzeni liniowych

ROZDZIAŁ VII. MACIERZE I WYZNACZNIKI
1. Działania na macierzach
2. Algebra macierzy
3. Definicja i własności wyznacznika
4. Rozwinięcie Laplace'a
5. Macierz odwrotna

ROZDZIAŁ VIII. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
1. Układy cramerowskie
2. Rząd macierzy
3. Ogólna teoria układów równań liniowych
4. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji
5. Układy jednorodne

ROZDZIAŁ IX. HOMOMORFIZMY PRZESTRZENI LINIOWYCH
1. Definicja homomorfizmu przestrzeni liniowej
2. Algebra endomorfizmów przestrzeni liniowej
3. Reprezentacja macierzowa algebry endomorfizmów przestrzeni liniowej
4. Dalsze własności endomorfizmów przestrzeni liniowej
5. Zmiana bazy
6. Wektory własne i wartości własne endoformizmów

ROZDZIAŁ X. FUNKCJONAŁY I FORMY
1. Funkcjonały i formy liniowe oraz dwuliniowe
2. Funkcjonały kwadratowe i formy kwadratowe
3. Funkcjonały kwadratowe i formy kwadratowe w przestrzeniach rzeczywistych

ROZDZIAŁ XI. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE
1. Iloczyn skalarny. Definicja przestrzeni euklidesowej
2. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie unormowane i metryczne
3. Bazy ortonormalne
4. Wyznacznik Grama
5. Izomorfizmy i endomorfizmy przestrzeni euklidesowych
6. Endomorfizmy samosprzężone
7. Endomorfizmy ortogonalne

ROZDZIAŁ XII. PRZESTRZENIE AFINICZNE
1. Definicja i najprostsze własności przestrzeni afinicznej
2. Rozmaitości liniowe
3. Odwzorowania afiniczne
4. Rozmaitości stopnia drugiego w przestrzeniach euklidesowych punktów

ROZDZIAŁ XIII. ELEMENTY TEORII GRUP
1. Zanurzenia izomorficzne grup
2. Grupy cykliczne
3. Warstwy
4. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa
5. Kongruencje w grupach. Związek homomorfizmów grup z dzielnikami normalnymi

ROZDZIAŁ XIV. ELEMENTY TEORII PIERŚCIENI
1. Pierścienie wielomianów
2. Ideały. Pierścień ilorazowy
3. Kongruencje w pierścieniach. Związek homomorfizmów pierścieni z ideałami
4. Ideały pierwsze i ideały maksymalne

ROZDZIAŁ XV. TEORIA PODZIELNOŚCI W PIERŚCIENIACH CAŁKOWITYCH
1. Relacja podzielności w pierścieniach całkowitych
2. Teoria podzielności w pierścieniach z jednoznacznością rozkładu
3. Teoria podzielności w pierścieniach głównych i pierścieniach euklidesowych
4. Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych i w pierścieniach wielomianów nad ciałem

ROZDZIAŁ XVI. PIERŚCIENIE WIELOMIANÓW
1. Funkcje wielomianowe. Pierwiastki wielomianów
2. Ciała algebraicznie zamknięte
3. Wielomiany o współczynnikach zespolonych i rzeczywistych
4. Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych
5. Ciało liczb algebraicznych
6. Pierścienie wielomianów wielu zmiennych
7. Wielomiany symetryczne

ROZDZIAŁ XVII. ELEMENTY TEORII CIAŁ
1. Ciało ułamków pierścienia całkowitego
2. Rozszerzenia ciał

ROZDZIAŁ XVIII. ELEMENTY TEORII LICZB
1. Algorytm Euklidesa, ułamki łańcuchowe i równania nieoznaczone
2. Kongruencje
3. Liczebniki i podstawy numeracji

DODATEK I. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY
DODATEK II. PRZESTRZENIE UNITARNE

BIBLIOGRAFIA
SKOROWIDZ SYMBOLI
SKOROWIDZ NAZWISK
SKOROWIDZ NAZW