archimedes3.jpg

Archimedes z Syrakuz, a liczba pi.

Archimedes, Domenico Fetti


Kilka faktów.

     ⇒ urodził się w należących wówczas do Grecji Syrakuzach jako
         syn astronoma Fidiasza

     ⇒ odwiedził Egipt, gdzie – jak się przypuszcza – wynalazł śrubę nazwaną
         jego imieniem, która jeszcze niedawno była używana do nawadniania
         pól wodą z Nilu

     ⇒ prowadził korespondencję z Euklidesem

     ⇒ wiedzę wykorzystywał praktycznie – konstruował olbrzymie machiny
         wojenne działające zgodnie z „prawem dźwigni”, które sam
         sformułował, dzięki czemu potrafiły miotać w kierunku wroga
         potężne głazy; wykorzystał też geometrię odbić światła, by skupić
         promienie słoneczne na dokonującej inwazji flocie rzymskiej i spalić
         jej statki

     ⇒ jego dzieła, które przetrwały do dziś to:
          ∗ Elementy mechaniki
          ∗ O kwadraturze odcinka paraboli
          ∗ O kuli i walcu
          ∗ O ślimacznicach
          ∗ O konoidach i sferoidach
          ∗ O ciałach pływających
          ∗ O mierzeniu okręgu
          ∗ O liczeniu piasku
          ∗ a także traktat "O metodach", odnaleziony w 1906 roku przez
            Johana Heiberga

Archimedes był największym matematykiem starożytności. Wniósł istotny wkład w geometrię, wykorzystywał matematykę do zastosowań praktycznych oraz był znakomitym inżynierem. Matematycy zawsze będę pamiętali Archimedesa dzięki jego pracom poświęconym okręgom, kulom i walcom, które kojarzą nam się obecnie z liczbą pi, w przybliżeniu równą 3,14159. Oczywiście starożytni Grecy nie posługiwali się bezpośrednio liczną pi: postrzegali ją geometrycznie, jako stosunek obwodu okręgu do jego przekątnej.

Wcześniejsze kultury wiedziały, że obwód okręgu jest zawsze stałą wielokrotnością jego średnicy. Zakładały nawet, że ta wielokrotność jest w przybliżeniu równa 3 lub nieco więcej. Babilończycy posługiwali się wartością 3 i 1/8. Archimedes poszedł znacznie dalej; jego wynikom towarzyszyły przeprowadzone rygorystycznie dowody. Zgodnie ze swoją ówczesną wiedzą Grecy przypuszczali, że stosunek obwody okręgu do jego średnicy może być liczbą niewymierną. Obecnie wiemy, że tak rzeczywiście jest, jednak na dowód tego stwierdzenia trzeba było czekać aż do roku 1770, gdy przedstawił go Johann Heinrich Lambert. Ponieważ Archimedes nie mógł dowieść, że pi jest liczbą niewymierną, musiał założyć, że być może tak nie jest.

Grecka geometria najlepiej się sprawdzała w odniesieniu do wielokątów – kształtów zbudowanych z prostych odcinków. Okrąg jest zakrzywiony, więc Archimedes zabrał się do niego stosując metodę przybliżania wielokątami. By oszacować wartość pi, porównał obwód okręgu z obwodem dwóch ciągów wielokątów: jeden ciąg znajdował się wewnątrz okręgu, drugi go otaczał. Obwody wielokątów wewnątrz okręgów muszą być mniejsze od obwodu okręgu, natomiast obwody wielokątów na zewnątrz okręgu muszą być większe od obwodu okręgu. Aby ułatwić sobie obliczenia, Archimedes konstruował swoje wielokąty, dzieląc wielokrotnie na pół boki foremnego sześciokąta; uzyskiwał w ten sposób foremne wielokąty o 12, 24, 48 bokach i tak dalej. Doszedł do 96 boków. Jego obliczenia dowiodły, że:

pi leży gdzieś pomiędzy 3,1408 a 3,1429.


Pi z dużą dokładnością

Przy użyciu bardziej wyrafinowanych metod wartość liczby pi wyznaczono już z dokładnością do kilku miliardów cyfr. Obliczenia takie są interesujące ze względu na wykorzystaną metodę, przeprowadza się je w celu sprawdzenia systemów komputerowych czy wręcz z czystej ciekawości, ale sam ich wynik ma niewielkie znaczenie. W praktycznych zastosowaniach nie jest zwykle wymagana dokładność liczby pi większa niż cztery lub pięć miejsc po przecinku. Aktualny rekord w dokładnym obliczeniu liczby pi należy do francuskiego informatyka. Fabrice Bellard ogłosił, że obliczył liczbę pi do prawie 2,7 bilionów miejsc po przecinku. Rekordowych obliczeń dokonał na domowym komputerze. Obliczenia trwały 131 dni. Do zapisania nowej wartości liczby pi potrzebny jest dysk twardy o pojemności jednego terabajta, a recytowanie jej zajęłoby prawie pięćdziesiąt tysięcy lat.

Szczególnie interesujące są rozważania Archimedesa dotyczące kuli, ponieważ znamy nie tylko rygorystycznie przeprowadzony dowód, ale wiemy również, jak Archimedes do niego doszedł – a była to droga zdecydowanie nierygorystyczna. Dowód ten można znaleźć w jego dziele "O kuli i walcu".

Archimedes wykazuje, że objętość kuli wynosi dwie trzecie objętości opisanego na niej walca, oraz to, że pola powierzchni fragmentów kuli i walca leżących między dwiema dowolnymi płaszczyznami równoległymi są równe. Mówiąc współczesnym językiem, dzięki Archimedesowi znamy dwa podstawowe wzory:

Dowód tych wzorów stanowi przykład wykorzystania po mistrzowsku metody wyczerpywania. Metoda ta ma ważne ograniczenie: żeby uzyskać szansę na przeprowadzenie dowodu, trzeba najpierw wiedzieć, jaka jest odpowiedź. Przez całe stulecia uczeni nie mieli pojęcia, w jaki sposób Archimedes odgadł poprawną odpowiedź. Zagadka wyjaśniła się w 1906 roku, gdy duński uczony Heiberg badał pewien trzynastowieczny pergamin zawierający modlitwy. Zauważył na nim ledwo widoczne linie wcześniejszej inskrypcji, które wymazano, żeby przygotować miejsce na zapis modlitw. Odkrył, że oryginalny dokument był kopią prac Archimedesa, a których kilka nie była dotąd w ogóle znanych. Dokument tego rodzaju nazywa się palimpsestem – jest to arkusz pergaminu, na którym późniejszy rękopis został napisany na wytartym wcześniej tekście pierwotnym. Co zadziwiające, obecnie wiemy, że ten sam manuskrypt zawiera również fragmenty zaginionych dzieł dwóch innych starożytnych autorów. Jedno z dzieł Archimedesa O metodzie mechanicznego rozwiązywania zadań geometrycznych, wyjaśnia, w jaki sposób można odgadnąć objętość kuli. Pomysł polega na pokrojeniu jej na nieskończenie cienkie plastry i umieszczenie tych plastrów na końcu jednego z ramiom wagi; na końcu drugiego ramienia należy umieścić analogiczne plastry walca i stożka – których objętość Archimedes już znał. Prawo dźwigni pozwoli ustalić szukaną wartość objętości. Odnaleziony pergamin sprzedano prywatnemu nabywcy w 1998 roku za dwa miliony dolarów.

Na podstawie książki: Ian Stewart Oswajanie nieskończoności

Ian Stewart (ur. 1945) – matematyk, specjalista od układów złożonych, pracownik naukowy University of Warwick, współpracownik „Scientific American” i „New Scientist”, konsultant Encyklopedii Britannica. Jest autorem wielu książek popularnonaukowych, z których na język polski przetłumaczono:

∗ Liczby natury
∗ Listy do Młodego Matematyka
∗ Histerie matematyczne
∗ Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne
∗ Czy Bóg gra w kości?
∗ Załamanie chaosu i Wytwory rzeczywistości (z biologiem Jackiem Cohenem)
∗ Nauka Świata Dysku I, II, III (z Cohenem i Terrym Pratchettem)
∗ Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki
∗ Gabinet matematycznych zagadek
∗ Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne
∗ Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce
∗ Stąd do nieskończoności. Przewodnik po krainie dzisiejszej matematyki